Vejen har navn efter Trangraven, som er kanalen mellem Christianshavn og Holmen.
Trangravsvej er adgangsvej til Christiansholm, som er én af det kunstige øer, der udgør det tidligere flådeværft Holmen.
Trangravens navn skyldes et trankogeri. hvor Den Kongelige Grønlandske Handel forarbejdede fedtstof fra hvaler.
Christiansholm blev opfyldt i 1696. Her lå først et privat skibsbyggeri, Motzmanns Plads, der senere indgik i flådeværftet. Pladsen var opkaldt efter grundlæggeren, kaptajn Johan Georg Motzmann.
Da Motzmann gik fallit, indrettede Flåden et marinehospital på den kunstige holm. Senere blev den brugt til oplagring af bl.a. kanonkugler, som kom fra naboøen, Arsenaløen.
Den kunstige ø blev udbygget mens Christian den 6. var konge, og derfor gav man den navnet Christiansholm.
Her blev der bl.a. opført en mastekran i stil med den nuværende på Nyholm (se: A. H. Vedels Plads).
Flåden forlod Christiansholm i 1860’erne og i en periode blev øen anvendt af den private virksomhed Christiansholms Fabrikker.
Firmaet handlede bl.a. med kul og salt. Fra den tid stammer et maskinhus (herover) fra 1909 der står ved indsejlingen til Trangraven.
I 1958 blev der opført en hal på Christiansholm til brug for ”Den Danske Presses Fællesindkøbs-Forening”, der brugte hallen til dagbladenes lager af avispapir.
Derfor fik øen fik tilnavnet Papirøen. Det blev også navnet på et streetfood-marked, som lå i lagerhallen, da funktionen som papirlager var ophørt.
I dag er lagerhallen væk og på øen opføres i stedet et nybyggeri på Christiansholm med bl.a. boliger, der er tegnet af arkitektfirmaet COBE. Øen får også et vandkulturhus, et hotel m.m.
Den nye anvendelse af øen betyder, at navnet Trangravsvej erstattes af vejnavnet Papirøen.