Pladsen er opkaldt efter storkøbmanden og skibsrederen Andreas Bodenhoff (1723-1794).
Bodenhoff og hans hustru er begravet på Assistens Kirkegård og på graven står et fornemt monument, udført af billedhuggeren Johannes Wiedewelt.
I 1760’erne opfyldte Anders Bodenhoff et område i den østlige del af Christianshavn og skabte en “plads”, hvor der var både tømmerhandel, havn og skibsværft. Privat boede Bodenhoff i Nyhavn og desuden havde han landstedet Kildevæld, på Østerbro.
Andreas Bodenhoff var i en periode én af landets rigeste mænd og Københavns største skibsreder med næsten 30 skibe i søen. Han var desuden leverandør af skibe samt tømmer, master, hør og hamp til Flåden.
Pladsen blev – formentlig i 1830’erne – overtaget af Joseph Hambro (1780-1848), der bl.a. anlagde en rismølle (billedet herunder).
Her var fra 1830 installeret Danmarks første dampmaskine, som drev et værk, der afskallede ris. Skallerne blev brugt til svinefoder, så på fabriksområdet var der en større svinehold. Når man havde svinene, kunne man ligeså godt anlægge en konservesfabrik – som også blev landets første.
Endelig blev der anlagt et bageri, der forsynede skibene med brød.
Hambro var sin tids iværksætter. Han drev også en bank, som i begyndelsen af 1800-tallet var med til at formidle statslån.
Sønnen, Carl Joachim Hambro, slog sig også på bankvirksomhed, og flyttede til London hvor han grundlagde Hambros Bank, der eksisterer endnu. Familien Hambro boede om sommeren på landstedet Øregård nord for København.
Familien har også givet navn til Hambrosgade i kvarteret bag Glyptoteket.
I 1880’erne blev den kunstige ø yderligere udbygget og den nye del blev brugt af rederiet DFDS’s skibe, som gik til Island. Derfor fik pladsen også navnet Islands Plads.
Fra denne tid stammer Islands Handels pakhus (herunder), som er den eneste, bevarede bygning fra handelstiden i området.
I 1970’erne forsvandt de øvrige pakhuse og i stedet blev der opført et etagebyggeri med ca. 350 lejligheder. Det var tegnet af arkitekten Thorvald Dreyer (1895-1980) og stod færdigt i 1978. Islands Handels pakhus blev samtidig indrettet til beboelse og her er ca. 40 lejligheder.
Gaden er en del af det såkaldte Alladin-kvarter. Se nærmere under Andreas Bjørnsgade.