Gaden har navn efter komponisten og salmedigteren Henrik Riung (1807-1871). Han har skrevet musikken til kendte sange og samler, som f.eks. „I Danmark er jeg født‟ og „Kimer, I klokker‟.
Henrik Rungs Gade er anlagt omkring 1910 i udkanten af det jernbaneterræn, der blev frigjort til andre formål, da jernbanerne omkring København blev omlagt efter at den nye Københavns Hovedbanegård blev taget i brug i 1911.
Byggeriet i Henrik Rungs Gade er af højere kvalitet end i „Rabarberkvarteret‟ langs Rantzausgade lige ved siden af.
I Henrik Rungs Gade 5-7 er der træer som dekoration over indgangsdørene, og ejendommen på hjørnet af Jesper Brochmanns Gade („Ugleborgen‟) er prydet med ugler.
