Vejen har navn efter Københavns borgmester Jens Jensen (1859-1928).
Han var den første socialdemokratiske borgmester i København, og fungerede som sådan fra 1903 til 1924.
Borgmester Jensens Allé var oprindeligt navnet til den slyngede vej, der går gennem gennem Fælledparken. Jens Jensen var én af initiativtagerne til parken, så det var naturligt, at vejen fik navnet efter hans død.
I 2009 blev det besluttet at omdøbe den del af vejen, som lå syd for Øster Allé til Edel Sauntes Allé. Begrundelsen var, at vejen gennem den nordlige del af Fælledparken ikke længere var åben for færdsel, og at vejen derfor var delt i to stykker uden indbyrdes forbindelse.
Da man samtidig ønskede at markere 100-året for kvindelig valgret til kommunale råd, ændredes Borgmester Jensen Allé til Edel Sauntes Allé.
Nord for Serridslevvej beholdt alléen sit gamle navn.
Bebyggelsen langs vejens nordside hedder Kanslergården, der er opført i to etaper (se nærmere i artiklen om Kanslergade).
