Gaden er opkaldt efter der kongelige fiskedamme, som lå her i 1600-tallet.
Her opdrættede man bl.a. karper. Dammene var anlagt på foranledning af kong Frederik den 3. og de erstattede andre fiskedamme, der havde ligger udenfor for Vesterport.
Senere blev dammene til søer, der indgik i et lystanlæg, som var en del af Classens Have. Det var et populært sted at løbe på skøjter om vinteren, og det gjorde bl.a. kong Christian den 9.’s børn.
I 1890’erne blev dammene imidlertid fyldt op og den nuværende bebyggelse opført.
Kortet herover fra 1770 viser dammene længst til højre. Gaden nederst svarer til vores dages Classensgade og til venstre går Østerbrogade.
Selv om Fiskedamsgade har et navn med en gammel historie, fik den først sit navn i midten af 1920’erne. Tidligere hed den Classensvej.
I Fiskedamsgade ligger Frihavnskirken.