Gaden har navn efter Abel Cathrine Mesing (ca. 1626-1876). Hun var hofdame for kong Frederik den 3’s dronning, Sophie Amalie, der gav navn til Amalienborg Slot.
Abel Cathrines mand var skriver ved hoffet og velstående. Da han døde, arvede Abel Cathrine en en større formue, som hun brugte til i 1675 at opføre seks-syv små boder (rækkehuse) i Dronningens Tværgade, som hun testamenterede til de syge og fattige. I forbindelse med boligerne lå også et kapel, der dog blev ødelagt af en brand i 1857.
I 1884 blev bygningerne revet ned, og i stedet genopførtes de som Abel Cathrines Stiftelse på Vesterbro. Gaden, hvor stiftelsen kom til ligge i nr. 13, blev endda opkaldt efter hende.
Bygningen blev tegnet af Herman Bogøe Storck (1839-1922) som et firefløjet anlæg med ca. 40 værelser og en lille kirkesal. Huset er i dag fredet, fordi det ét af de tidlige eksempler på den nationalromatiske arkitektur i København. Storck har hentet inspiration fra barokken og bygningen har et vist klosteragtigt præg.
I 1949 blev ejendommen solgt, og i stedet anvendt som husvildeboliger. Lejlighederne flyttede til Gammel Kloster på Østerbro, under navnet Abel Cathrines Friboliger.
Huset blev kendt i 1980’erne på grund af en kortvarig, men dramatisk husbesættelse. I dag bruges bygningen af Mødrehjælpen, der som organisation rådgiver og støtter gravide og forældre.
